Cryptographie de la courbe elliptique BigInt en JavaScript: un examen approfondi des opérations avancées

Dans une ère dominée par l'interaction numérique, de la finance décentralisée (DeFi) à la messagerie chiffrée de bout en bout, la force de nos fondations cryptographiques n'a jamais été aussi critique. La cryptographie de la courbe elliptique (ECC) est un pilier de la cryptographie moderne à clé publique, offrant une sécurité robuste avec des tailles de clé plus petites que ses prédécesseurs comme RSA. Pendant des années, effectuer ces opérations mathématiques complexes directement en JavaScript était un défi, nécessitant souvent des bibliothèques spécialisées qui faisaient abstraction des détails de bas niveau ou traitaient des limitations du type de nombre standard de JavaScript.

L'introduction du type natif BigInt en JavaScript (ES2020) a été un moment révolutionnaire. Il a libéré les développeurs des contraintes du type Number à virgule flottante 64 bits, fournissant un mécanisme pour gérer des entiers arbitrairement grands. Cette seule fonctionnalité a débloqué le potentiel d'implémentations cryptographiques performantes, natives et plus transparentes directement dans les environnements JavaScript comme les navigateurs et Node.js.

Alors que de nombreux développeurs connaissent les bases de l'ECC (génération de paires de clés et signature de messages), la véritable puissance de cette technologie réside dans ses opérations plus avancées. Cet article va au-delà des fondamentaux pour explorer des protocoles et des techniques cryptographiques sophistiqués qui sont désormais accessibles grâce à BigInt. Nous allons approfondir Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) pour l'échange de clés sécurisé, la récupération de clé publique à partir de signatures et les signatures Schnorr puissantes et conviviales pour l'agrégation.

La révolution BigInt dans la cryptographie JavaScript

Avant de plonger dans les opérations avancées, il est essentiel de comprendre pourquoi BigInt change autant la donne pour la cryptographie en JavaScript.

Le problème avec le type `Number`

Le type traditionnel Number de JavaScript est un nombre à virgule flottante 64 bits à double précision IEEE 754. Ce format est excellent pour un large éventail d'applications, mais il présente une limitation critique pour la cryptographie: il ne peut représenter en toute sécurité que des entiers jusqu'à Number.MAX_SAFE_INTEGER, qui est 2⁵³ - 1.

Les clés cryptographiques et les valeurs intermédiaires dans ECC sont beaucoup plus grandes. Par exemple, la courbe populaire secp256k1 utilisée par Bitcoin et Ethereum fonctionne sur un champ de nombres premiers de 256 bits de long. Ces nombres sont d'ordres de grandeur supérieurs à ce que le type Number standard peut gérer sans perdre de précision. Tenter d'effectuer des calculs avec de tels nombres conduirait à des résultats incorrects et non sécurisés.

Entrez `BigInt`: entiers de précision arbitraire

BigInt résout ce problème avec élégance. Il s'agit d'un type numérique distinct qui fournit un moyen de représenter des nombres entiers de n'importe quelle taille. Vous pouvez créer un BigInt en ajoutant `n` à la fin d'un littéral entier ou en appelant le constructeur BigInt().

Exemple:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Sûr avec BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // Un nombre premier de 256 bits

Avec BigInt, tous les opérateurs arithmétiques standard (+, -, *, /, %, **) fonctionnent comme prévu sur ces entiers massifs. Cette capacité est le fondement sur lequel sont construites les implémentations JavaScript ECC natives, permettant un calcul direct, précis et sécurisé des algorithmes cryptographiques sans s'appuyer sur des modules WebAssembly externes ou des bibliothèques de nombres multi-parties encombrantes.

Un rappel sur les fondamentaux de la cryptographie de la courbe elliptique

Pour apprécier les opérations avancées, revoyons brièvement les concepts de base de l'ECC.

À la base, l'ECC est basée sur la structure algébrique des courbes elliptiques sur des champs finis. Ces courbes sont définies par l'équation de Weierstrass:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Où `a` et `b` sont des constantes définissant la forme de la courbe, et `p` est un grand nombre premier définissant le champ fini.

Concepts clés

• Point sur la courbe: Une paire de coordonnées (x, y) qui satisfait l'équation de la courbe. Toutes nos opérations cryptographiques sont essentiellement «arithmétique ponctuelle».
• Point de base (G): Un point de départ standardisé et publiquement connu sur la courbe.
• Clé privée (d): Un entier aléatoire très grand et cryptographiquement sécurisé. C'est votre secret. Dans le contexte de BigInt, `d` est un grand BigInt.
• Clé publique (Q): Un point sur la courbe dérivé de la clé privée et du point de base par une opération appelée multiplication scalaire: Q = d * G. Cela signifie ajouter le point G à lui-même `d` fois.

La sécurité de l'ECC repose sur le problème du logarithme discret de la courbe elliptique (ECDLP). Il est facile de calculer la clé publique `Q` étant donné la clé privée `d` et le point de base `G`. Cependant, il est impossible de déterminer la clé privée `d` étant donné uniquement la clé publique `Q` et le point de base `G`.

Opération avancée 1: Échange de clés Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)

L'une des applications les plus puissantes de l'ECC est l'établissement d'un secret partagé entre deux parties sur un canal de communication non sécurisé. Ceci est réalisé en utilisant le protocole d'échange de clés Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH).

Le but

Imaginez deux personnes, Alice et Bob, qui souhaitent communiquer en toute sécurité. Ils doivent convenir d'une clé de chiffrement symétrique que seuls eux connaissent, mais leur seul moyen de communication est un canal public qu'un espion, Eve, peut surveiller. ECDH leur permet de calculer un secret partagé identique sans jamais le transmettre directement.

Le protocole étape par étape

1. Génération de clé:
   • Alice génère sa clé privée, `d_A` (un grand BigInt aléatoire), et sa clé publique correspondante, `Q_A = d_A * G`.
   • Bob génère sa clé privée, `d_B` (un autre grand BigInt aléatoire), et sa clé publique, `Q_B = d_B * G`.
2. Échange de clés publiques:
   • Alice envoie sa clé publique, `Q_A`, à Bob.
   • Bob envoie sa clé publique, `Q_B`, à Alice.
   • Eve, l'espion, peut voir à la fois `Q_A` et `Q_B`, mais ne peut pas dériver les clés privées `d_A` ou `d_B` en raison de l'ECDLP.
3. Calcul secret partagé:
   • Alice prend la clé publique de Bob `Q_B` et la multiplie par sa propre clé privée `d_A` pour obtenir un point S: S = d_A * Q_B.
   • Bob prend la clé publique d'Alice `Q_A` et la multiplie par sa propre clé privée `d_B` pour obtenir un point S: S = d_B * Q_A.

La magie de la commutativité

Alice et Bob arrivent au même point secret `S` sur la courbe. En effet, la multiplication scalaire est associative et commutative:

Calcul d'Alice: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Calcul de Bob: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Puisque d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, ils calculent tous les deux le même résultat sans jamais révéler leurs clés privées.

Du point partagé à la clé symétrique

Le secret partagé résultant `S` est un point sur la courbe, pas une clé symétrique appropriée pour les algorithmes de chiffrement comme AES. Pour dériver une clé, une pratique courante consiste à prendre la coordonnée x du point `S` et à la transmettre via une fonction de dérivation de clé (KDF), telle que HKDF (fonction de dérivation de clé basée sur HMAC). La KDF prend le secret partagé et éventuellement un sel et d'autres informations, et produit une clé cryptographiquement forte de la longueur souhaitée.

Tous les calculs sous-jacents (génération de clés privées en tant que `BigInt`s aléatoires et exécution de la multiplication scalaire) reposent fortement sur l'arithmétique `BigInt`.

Opération avancée 2: récupération de clé publique à partir de signatures

Dans de nombreux systèmes, en particulier les chaînes de blocs, l'efficacité et la minimisation des données sont primordiales. Généralement, pour vérifier une signature, vous avez besoin du message, de la signature elle-même et de la clé publique du signataire. Cependant, une propriété astucieuse de l'algorithme de signature numérique de la courbe elliptique (ECDSA) vous permet de récupérer la clé publique directement à partir du message et de la signature. Cela signifie que la clé publique n'a pas besoin d'être transmise, ce qui permet d'économiser de l'espace précieux.

Comment ça marche (haut niveau)

Une signature ECDSA se compose de deux composants, (`r`, `s`).

• `r` est dérivé de la coordonnée x d'un point aléatoire `k * G`.
• `s` est calculé sur la base du hachage du message (`z`), de la clé privée (`d`) et de `r`. La formule est: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, où `n` est l'ordre de la courbe.

Grâce à la manipulation algébrique de l'équation de vérification de signature, il est possible de dériver une expression pour la clé publique `Q`. Cependant, ce processus donne deux clés publiques valides possibles. Pour résoudre cette ambiguïté, un petit élément d'information supplémentaire appelé ID de récupération (souvent noté `v` ou `recid`) est inclus avec la signature. Cet ID, généralement 0, 1, 2 ou 3, spécifie laquelle des solutions possibles est la bonne et si la coordonnée y de la clé est paire ou impaire.

Pourquoi `BigInt` est essentiel

Les opérations mathématiques requises pour la récupération de clé publique sont intensives et impliquent des inverses modulaires, la multiplication et l'addition de nombres de 256 bits. Par exemple, une étape clé consiste à calculer `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Ces opérations sont précisément ce pour quoi `BigInt` est conçu. Sans cela, il serait impossible d'effectuer ces calculs en JavaScript natif sans perte significative de précision et de sécurité.

Application pratique: transactions Ethereum

Cette technique est célèbre utilisée dans Ethereum. Une transaction signée ne contient pas directement l'adresse publique de l'expéditeur. Au lieu de cela, l'adresse (qui est dérivée de la clé publique) est récupérée à partir des composants `v`, `r` et `s` de la signature. Ce choix de conception permet d'économiser 20 octets sur chaque transaction, une économie significative à l'échelle d'une chaîne de blocs mondiale.

Opération avancée 3: Signatures Schnorr et agrégation

Bien que l'ECDSA soit largement utilisé, il présente certains inconvénients, notamment la malléabilité des signatures et un manque de propriétés d'agrégation. Les signatures Schnorr, un autre schéma basé sur l'ECC, fournissent des solutions élégantes à ces problèmes et sont considérées par de nombreux cryptographes comme supérieures.

Principaux avantages des signatures Schnorr

• Sécurité prouvable: Elles ont une preuve de sécurité plus simple et plus robuste que l'ECDSA.
• Non-malléabilité: Il n'est pas possible pour un tiers de modifier une signature valide en une autre signature valide pour le même message et la même clé.
• Linéarité (La superpuissance): C'est l'avantage le plus significatif. Les signatures Schnorr sont linéaires, ce qui permet des techniques d'agrégation puissantes.

Agrégation de signature expliquée

La propriété de linéarité signifie que plusieurs signatures de plusieurs signataires peuvent être combinées en une seule signature compacte. Cela change la donne pour les schémas multi-signatures (multisig).

Considérez un scénario où une transaction nécessite les signatures de 3 participants sur 5. Avec ECDSA, vous devriez inclure les trois signatures individuelles sur la chaîne de blocs, ce qui prend beaucoup de place.

Avec les signatures Schnorr, le processus est beaucoup plus efficace:

1. Agrégation de clé: Les 3 participants peuvent combiner leurs clés publiques individuelles (`Q1`, `Q2`, `Q3`) pour créer une seule clé publique agrégée (`Q_agg`).
2. Agrégation de signature: Grâce à un protocole collaboratif comme MuSig2, les participants peuvent créer une seule signature agrégée (`S_agg`) qui est valide pour la clé publique agrégée `Q_agg`.

Le résultat est une transaction qui ressemble à une transaction standard à un seul signataire à l'extérieur. Elle a une clé publique et une signature. Cela améliore considérablement l'efficacité, l'évolutivité et la confidentialité, car les configurations multisig complexes deviennent indiscernables des configurations simples.

Le rôle de `BigInt`

La magie de l'agrégation est enracinée dans l'addition simple de points de courbe elliptique et l'arithmétique scalaire. La création de la clé agrégée implique `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, et la création de la signature agrégée implique l'addition des composants de signature individuels modulo l'ordre de la courbe. Toutes ces opérations, qui constituent la base de protocoles comme MuSig2, sont effectuées sur de grands entiers et des coordonnées de courbe, faisant de `BigInt` un outil indispensable pour implémenter des signatures Schnorr et des schémas d'agrégation en JavaScript.

Considérations de mise en œuvre et meilleures pratiques de sécurité

Bien que `BigInt` nous permette de comprendre et d'implémenter ces opérations avancées, la construction de cryptographie de qualité production est une tâche périlleuse. Voici quelques considérations critiques.

1. NE PAS déployer votre propre cryptographie pour la production

Cet article vise à éduquer et à illustrer les mécanismes sous-jacents. Vous ne devez jamais implémenter ces primitives cryptographiques à partir de zéro pour une application de production. Utilisez des bibliothèques bien testées, auditées et évaluées par des pairs comme `noble-curves`. Ces bibliothèques sont spécialement conçues par des experts et tiennent compte de nombreux problèmes de sécurité subtils mais critiques.

2. Opérations à temps constant et attaques par canal latéral

L'un des pièges les plus dangereux est l'attaque par canal latéral. Un attaquant peut analyser les aspects non fonctionnels d'un système, tels que la consommation d'énergie ou le temps précis qu'une opération prend, pour divulguer des informations sur les clés secrètes. Par exemple, si une multiplication avec un bit «1» dans la clé prend légèrement plus de temps qu'avec un bit «0», un attaquant peut reconstruire la clé en observant les variations de synchronisation.

Les opérations `BigInt` standard en JavaScript ne sont pas à temps constant. Leur temps d'exécution peut dépendre de la valeur des opérandes. Les bibliothèques cryptographiques professionnelles utilisent des algorithmes hautement spécialisés pour garantir que toutes les opérations impliquant des clés privées prennent un temps constant, quelle que soit la valeur de la clé, atténuant ainsi cette menace.

3. Génération sécurisée de nombres aléatoires

La sécurité de tout système cryptographique commence par la qualité de son caractère aléatoire. Les clés privées doivent être générées à l'aide d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires cryptographiquement sécurisé (CSPRNG). Dans les environnements JavaScript, utilisez toujours les API intégrées:

• Navigateur: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

N'utilisez jamais Math.random() à des fins cryptographiques, car il n'est pas conçu pour être imprévisible.

4. Paramètre de domaine et validation de clé publique

Lors de la réception d'une clé publique provenant d'une source externe, il est essentiel de la valider. Un attaquant pourrait fournir un point malveillant qui n'est pas réellement sur la courbe elliptique spécifiée, ce qui pourrait conduire à des attaques qui révèlent votre clé privée lors de l'échange de clés ECDH (par exemple, les attaques de courbe non valides). Les bibliothèques réputées gèrent cette validation automatiquement.

Conclusion

L'arrivée de `BigInt` a fondamentalement transformé le paysage de la cryptographie au sein de l'écosystème JavaScript. Il a fait passer l'ECC du domaine des bibliothèques opaques en boîte noire à quelque chose qui peut être implémenté et compris nativement, favorisant un nouveau niveau de transparence et de capacité.

Nous avons exploré comment cette fonctionnalité unique permet des opérations cryptographiques avancées et puissantes qui sont essentielles aux systèmes sécurisés modernes:

• Échange de clés ECDH: La base pour établir des canaux de communication sécurisés.
• Récupération de clé publique: Une technique d'amélioration de l'efficacité essentielle pour les systèmes évolutifs comme les chaînes de blocs.
• Signatures Schnorr: Un schéma de signature de nouvelle génération offrant une efficacité, une confidentialité et une évolutivité supérieures grâce à l'agrégation.

En tant que développeurs et architectes, la compréhension de ces concepts avancés n'est plus seulement un exercice académique. Ils sont déployés dans les systèmes mondiaux aujourd'hui, de la mise à niveau Taproot dans Bitcoin aux protocoles de messagerie sécurisés qui protègent nos conversations quotidiennes. Bien que l'implémentation finale doive toujours être laissée à des bibliothèques auditées et évaluées par des experts, une compréhension approfondie des mécanismes, rendue possible par des outils comme `BigInt`, nous permet de créer des applications plus sécurisées, efficaces et innovantes pour un public mondial.